Perhatikan fungsi yang ditentukan oleh rumus
Jika variabel x diganti 2 maka f(2) = , merupakan bentuk tak tentu. Jadi f(x) tidak ter-definisi pada x = 2, tetapi adakah suatu bilangan yang akan didekati oleh nilai f(x) jika nilai x mendekati 2 tetapi tidak sama dengan 2?. Untuk mengetahui jawabannya kita ambil nilai-nilai dari x yang mendekati 2 dari fihak kurang dari 2 (dari kiri) misalnya: 0; 1; 1,5; 1,9; 1,999; 1,999999 dan nilai-nilai x yang mendekati 2 dari fihak lebih dari 2 misalnya: 4; 3; 2,5; 2,1; 2,001; 2,000001. Kemudian dihitung nilai f pada nilai-nilai x tersebut yang terlihat pada tabel berikut:
X f(x)
0 1
1 3
1,5 4
1,9 4,8
1,999 4,998
1,999999 4,999998
2 ?
2,000001 5,000002
2,001 5,002
2,1 5,02
2,5 6
3 7
4 9
Dari tabel di atas kita dapat menduga bahwa nilai f(x) akan mendekati 5 jika x mendekati 2 yang ditulis .
Secara aljabar dapat diuraikan sbb:
=
=
= 5
Definisi
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi pada suatu selang I yang memuat c (pada c fungsi f boleh tidak terdefinisi). Limit f(x) untuk x mendekati c adalah L, ditulis f(x) = L jika untuk sembarang > 0 (bagaimanapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian hingga |f(x) - L| < apabila 0 < |x - c| < . Atau dengan kata lain jika x memenuhi 0 <|x - c| < maka |f(x) - L| < Perhatikan gambar berikut: Y L+ y=f(x) daerah |f(x)-L|< L L- c- c c+ X daerah 0<|x-c|< Contoh 1. Buktikan (3x - 5) = 1 Penyelesaian: Tinjauan pendahuluan: jika diberikan > 0 akan dicari > 0 sedemikian hingga jika 0<|x - 2|< maka |(3x-5)-1|< perhatikan |(3x - 5) - 1| = |3x - 6| = 3|x - 2| hasil ini menyarankan pemilihan , tentu saja pemilihan yang kurang dari akan memenuhi. Bukti lengkap: diberikan > 0 sembarang
pilih sehingga untuk nilai x yang memenuhi 0 < |x - 2| < berlaku |(3x-5)-1| = |3x - 62| = 3 |x - 2| <> 0, akan dicari > 0 sedemikian hingga jika 0 < |x - 2| < maka < untuk x 2, = = = = |2x - 4| = 2 |x - 2| dari hasil terakhir ini menyarankan pemilihan = Bukti lengkap: diberikan > 0 sembarang
pilih = sehingga untuk nilai x yang memenuhi 0 < |x - 2| < akan berlaku = 2 |x - 2| < 2 =" " terbukti =" 5"> 0 (bagaimanapun kecilnya), terdapat bilangan > 0 sedemikian hingga |f(x)-L|< apabila 0
(ii) jika k>0 dan g(x) 0 dari arah negatip maka = -
(iii) jika k<0 maka =" -" maka =" +"> 0 dan (x-4) = 0 (dari arah positip) maka
= +
2. Tentukan
Penyelesaian: karena (2x-1) = 7 > 0 dan (x-4) = 0 (dari arah negatip) maka
= -
Latihan soal-soal:
Hitunglah limit-limit berikut:
1. 2.
3. 4.
Limit di tak hingga
Pandang fungsi f yang didefinisikan f(x) =
misalkan jika diambil nilai x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 100, 1000 dan seterusnya yaitu nilai x bertambah besar tak terbatas maka nilai f dapat dilihat dalam tabel berikut:
x 0 1 2 3 4 5 10 100
f(x) 0 1 5/8 18/10 32/17 50/26 200/101 20.000/10.001
Terlihat bahwa jika nilai x bertambah besar tak terbatas maka kita menduga nilai f akan mendekati 2 ditulis = 2
Definisi
Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang buka (a,+ ) limit f(x) bila x bertambah besar tak terbatas adalah L ditulis f(x) = L jika untuk sembarang bilangan >0 (bagai-manapun kecilnya) terdapat bilangan N > 0 sedemikian hingga |f(x) - L| <> N.
Perhatikan gambar berikut:
f(x) L
L- y = f(x)
N x
Gambar
Dengan cara yang serupa untuk f(x) =
misalkan jika diambil nilai x = 0, -1, -2, -3, -4, -5, -10, -100, -1000 dan seterusnya yaitu nilai x menurun tak terbatas maka nilai f dapat dilihat dalam tabel berikut:
x 0 -1 -2 -3 -4 -5 -10 -100
f(x) 0 1 5/8 18/10 32/17 50/26 100/101 20.000/10.001
Terlihat bahwa jika nilai x menurun tak terbatas maka kita menduga nilai f akan mendekati 2 ditulis = 2
Definisi
Misalkan f fungsi yang terdefinisi pada selang buka (- ,a) limit f(x) bila x menurun tak terbatas adalah L ditulis f(x) = L jika untuk sembarang bilangan > 0 (bagaimanapun kecilnya) terdapat bilangan N <>
0 komentar:
Poskan Komentar